Биномиальное распределение
Пример 1. В урне находятся белые и черные шары. Доля белых шаров в урне равна p. Случайное событие А заключается в том, что вынутый наугад шар будет белого цвета; вероятность этого случайного события равна p - доле белых шаров в урне. Вынув из урны шар, отмечают, белый он или нет, затем вынутый шар возвращают в урну и шары тщательно перемешивают. После этого снова вынимают наугад один шар и так повторяют n раз.
Случайная величина X - это число появлений события А, т.е. белого шара, при n-кратном повторении испытания. Возможными значениями величины X являются числа 0, 1, 2, ..., n (0 - белый шар не появляется ни разу при всех n испытаниях, 1 - белый шар появляется один раз, 2 - два раза, ..., n - раз, т.е. во все испытаниях).
Найдем закон распределения вероятностей случайной величины X.
Событие X = n означает появление события А во всех испытаниях; по правилу умножения вероятностей (с учетом условия независимости испытаний) получим
Аналогично находим
Событие X = m (m = 1, 2, ..., n-1) означает, что за n испытаний случайное событие А наступит точно m раз, а значит противоположное событие наступит n - m раз.
Вероятность того, что событие А наступит в первых m испытаниях и не наступит в остальных n - m испытаниях, подсчитаем по правилу умножения вероятностей:
Эта вероятность не зависит от того, в каких именно испытаниях наступит событие А. Поэтому по правилу сложения вероятностей искомая вероятность
Здесь
| X | 0 | 1 | ... | m | ... | n-1 | n | ||||||||
| P(X=m) |  |  | ... |  | ... |  |  |
Этот закон распределения называется биномиальным законом распределения вероятностей. Название связано с тем, что вероятности совпадают с членами разложения бинома (q + p)n по степеням p:
Для вычисления вероятностей по формуле (1) придется не только возводить в степень, но и вычислять число сочетаний из n элементов по k. При этом могут быть достаточно большие числа, что даже установив их вещественный тип можем выйти за пределы допустимого диапазона и получить ошибку при работе программы на Турбо Паскале. Чтобы избежать этого, составим рекуррентное соотношение, с помощью которого можно вычислять вероятности.
Вероятность P(X = m) равна
а вероятность P(X = m - 1) вычисляется по формуле
Разделим левые и правые части этих равенств, получим:
Таким образом, начиная с P(X = 0), вероятности P(X = m) могут быть вычислены по следующей рекуррентной формуле:
Теперь, для вычисления вероятностей достаточно вычислить вероятность при m = 0, а затем воспользоваться приведенным соотношением.
При m = 0 получаем
Для возведения в натуральную степень вещественного числа составим процедуру:
{ Процедура возведения в степень }
Procedure Extent(a : real; n : integer; var e : real);
var
i : integer;
begin
e := 1;
if
n = 0 then e := 1
else
for i := 1 to n do e := e*a
end;
Используя эту процедуру нетрудно составить процедуру вычисления вероятностей, используя рекуррентное соотношение. Она может быть построена как итеративно, так и рекурсивно. Итеративная процедура приводится ниже, а рекурсивную составьте самостоятельно.
{ Рекуррентная процедура вычисления вероятности }
{биномиального закона распределения }
Procedure
Recurro_binomial(n, m : integer; p : real; var pp : real);
var
i : integer;
begin
Extent(1 - p, n, pp);
for
i := 1 to m do pp := (pp*(n - i + 1)*p)/(i*(1 - p))
end;
Используем эти процедуры для решения следующей задачи.
Пример 2. Из большой партии изделий берут на пробу 10 штук. Известно, что доля нестандартных изделий во всей партии составляет 25 %.
Требуется найти вероятность того, что более пяти отобранных изделий окажутся нестандартными.
Математическое решение задачи
Отбор каждого изделия будем считать испытанием, а обнаружение нестандартности у отобранного изделия - событием А. Вероятность p события А равна доле нестандартных изделий во всей партии, т. е. p = 0.25.
Количество X нестандартных изделий среди отобранных будет случайной величиной с биномиальным распределением вероятностей, если только изделия для пробы отбираются по схеме случайной повторной выборки (изделие после проверки возвращается обратно в общую партию). При этом вероятности подсчитываются по формуле (1) при n = 10, p = 0.25, q = 1 - 0.25 = 0.75.
По правилу сложения вероятностей складываем вероятности при m = 6, 7, 8, 9, 10 и находим искомую вероятность P(X > 5).
Программа
{ Биномиальный закон распределения вероятностей }
Program Problem2;
uses WinCrt;
var
p, pp, sum : real;
n, i : longint;
{----------------------------------------------------------------------------------------}
{ Процедура возведения в степень }
Procedure Extent(a : real; n : integer; var e : real);
var
i : integer;
begin
e := 1;
if n = 0 then e := 1 else for i := 1 to n do
e := e*a
end;
{--------------------------------------------------------------------------------------}
{ Рекуррентная процедура вычисления вероятности }
{ биномиального закона распределения }
Procedure Recurro_binomial(n, m : integer; p : real; var pp : real);
var
i : integer;
begin
Extent(1 - p, n, pp);
for i := 1 to m do pp := (pp*(n - i + 1)*p)/(i*(1 - p))
end;
{----------------------------------------------------------------------------------------}
{ Основная программа }
begin
write('Введите число всех изделий '); readln(n);
write('Введите вероятность появления нестандартного изделия '); readln(p);
writeln('Биномиальный закон распределения вероятностей'); writeln;
for i := 0 to n do write(i:6, ' '); writeln;
writeln;
sum := 0;
for i := 0 to n do
begin
Recurro_binomial(n, i, p, pp);
write(pp:1:4, ' ');
if i >= 6 then sum := sum + pp;
end;
writeln; writeln;
writeln('Вероятность того, что более пяти отобранных');
writeln('изделий окажутся нестандартными равна ', sum:1:6)
end.
