Паскаль. Основы программирования

       

Числовые характеристики биномиального распределения


При подсчете математического ожидания и дисперсии биномиального распределения воспользуемся методом математической индукции.

Для упрощения расчетов представим случайную величину X - число успехов при n-кратном повторении испытания - в виде суммы более простых величин. В качестве таких величин возьмем индикаторы успехов: 1 - "успех", 0 - "неудача". Таким образом, индикатор Xk принимает значение 1 в случае успеха при k-ом повторении испытания и значение 0 в противном случае. Поэтому

X = X1 + X2

+ ... + Xn,

так как эта сумма состоит из единиц и нулей, причем число единиц в ней равно числу успехов при n-кратном повторении испытания.

Отсюда следует, что

MX = MX1 + MX2

+ ... + MXn

 (в силу свойства линейности математического ожидания).

Так как биномиальное распределение связано с последовательностью независимых испытаний по схеме Бернулли, то индикаторы X1, X2, ..., Xn

- независимые случайны величины; поэтому можно применить и теорему сложения дисперсий, что дает

DX = DX1 + DX2

+ ... + DXn.



По условию задачи вероятность успеха при каждом повторном испытании одна и та же и равна p. Поэтому распределение вероятностей любого индикатора Xk

дается таблицей

1

0

p

q

где q = 1 - p; k = 1, 2, ..., n.

Непосредственный подсчет математического ожидания и дисперсии индикатора Xk приводит нас к следующему результату:

Следовательно, для биномиального распределения имеем

MX = np,

DX = npq,

и, значит,

Математическое ожидание и дисперсия относительной частоты X/n:

Мы пришли к очень важному, применительно к программированию, выводу.

Математическое ожидание относительной частоты случайного события есть вероятность этого события. Формула среднего квадратического отклонения показывает, что рассеяние относительной частоты уменьшается с увеличением числа повторений испытания.

Пример 3. Составить закон распределения случайной величины, выражающей число попаданий в мишень при четырех выстрелах, если вероятность попадания при каждом выстреле равна 0.3.
Вычислить ее математическое ожидание и дисперсию по формулам для характеристик случайной величины, распределенной по биномиальному закону.

{ Биномиальный закон распределения вероятностей }

Program Problem3;

     uses WinCrt;

     var

        p, pp, mx, dx : real;

        n, i                  : integer;

    {-------------------------------------------------------------------------------------}

    { Процедура возведения в степень }

    Procedure Extent(a : real; n : integer; var e : real);

          var

             i : integer;

          begin

             e := 1;

             if

n = 0 then e := 1

                          else

for i := 1 to n do e := e*a

          end;

 {---------------------------------------------------------------------------------------}

    { Рекуррентная процедура вычисления биномиального закона }

    { распределения }

    Procedure

Recurro_binomial(n, m : integer; p : real; var pp : real);

          var

             i : integer;

          begin

             Extent(1 - p, n, pp);

             for i := 1 to m do pp := (pp*(n - i + 1)*p)/(i*(1 - p))

          end;

{----------------------------------------------------------------------------------------}

    { Основная программа }

    begin

       write('Введите число выстрелов '); readln(n);

       write('Введите вероятность попадания при каждом выстреле '); readln(p);

       writeln('Биномиальный закон распределения вероятностей');

       writeln;

       for

i := 0 to n do write(i:6, ' '); writeln;

       for

i := 0 to n do

          begin

             Recurro_binomial(n, i, p, pp);

             write(pp:1:4, ' ')

         end;

      writeln; 

      mx := n*p;

      dx := n*p*(1 - p);

      writeln('Математическое ожидание, т.е. число попаданий ');

      writeln('при четырех выстрелах ', mx:4:6);

      writeln('Дисперсия равна ', dx:4:6);

      writeln('Среднее квадратическое отклонение ', sqrt(dx):4:6)

   end.

Пример 4.


Длительной проверкой установлено, что из каждых 10 приборов 8 - точных. Составить таблицу распределения числа точных приборов из взятых наудачу пяти приборов. Вычислить математическое ожидание и дисперсию.

{ Биномиальный закон распределения вероятностей }

Program Problem4;

     uses WinCrt;

     var

        p, pp, mx, dx : real;

        n, i                 : integer;

{----------------------------------------------------------------------------------------}

{ Процедура возведения в степень }

     Procedure Extent(a : real; n : integer; var e : real);

           var

               i : integer;

           begin

               e := 1;

               if

n = 0 then e := 1

                            else

for i := 1 to n do e := e*a

           end;

{----------------------------------------------------------------------------------------}

{ Рекуррентная процедура вычисления биномиального закона }

{ распределения }

     Procedure

Recurro_binomial(n, m : integer; p : real; var pp : real);

           var

               i : integer;

           begin

              Extent(1 - p, n, pp);

              for i := 1 to m do pp := (pp*(n - i + 1)*p)/(i*(1 - p))

           end;

{---------------------------------------------------------------------------------------}

{ Основная программа }

    begin

       write('Введите число взятых наудачу приборов '); readln(n);

       p := 0.8;

       writeln('Вероятность появления точного прибора ', p:1:6);

       writeln('Биномиальный закон распределения вероятностей');

       writeln;

       for

i := 0 to n do write(i:6, ' '); writeln; writeln;

       for

i := 0 to n do

          begin

             Recurro_binomial(n, i, p, pp);

             write(pp:1:4, ' ')

          end;

       writeln; writeln;

       mx := n*p; dx := n*p*(1 - p);

       writeln('Математическое ожидание, т.е. число точных ');

       writeln('приборов из взятых наудачу пяти ', mx:4:6);

       writeln('Дисперсия равна ', dx:4:6);

       writeln('Среднее квадратич. отклонение ', sqrt(dx):4:6)

    end.


Содержание раздела