Числовые характеристики биномиального распределения
При подсчете математического ожидания и дисперсии биномиального распределения воспользуемся методом математической индукции.
Для упрощения расчетов представим случайную величину X - число успехов при n-кратном повторении испытания - в виде суммы более простых величин. В качестве таких величин возьмем индикаторы успехов: 1 - "успех", 0 - "неудача". Таким образом, индикатор Xk принимает значение 1 в случае успеха при k-ом повторении испытания и значение 0 в противном случае. Поэтому
X = X1 + X2
+ ... + Xn,
так как эта сумма состоит из единиц и нулей, причем число единиц в ней равно числу успехов при n-кратном повторении испытания.
Отсюда следует, что
MX = MX1 + MX2
+ ... + MXn
(в силу свойства линейности математического ожидания).
Так как биномиальное распределение связано с последовательностью независимых испытаний по схеме Бернулли, то индикаторы X1, X2, ..., Xn
- независимые случайны величины; поэтому можно применить и теорему сложения дисперсий, что дает
DX = DX1 + DX2
+ ... + DXn.
По условию задачи вероятность успеха при каждом повторном испытании одна и та же и равна p. Поэтому распределение вероятностей любого индикатора Xk
дается таблицей
 | 1 | 0 | |||
| p | q |
где q = 1 - p; k = 1, 2, ..., n.
Непосредственный подсчет математического ожидания и дисперсии индикатора Xk приводит нас к следующему результату:
Следовательно, для биномиального распределения имеем
MX = np,
DX = npq,
и, значит,
Математическое ожидание и дисперсия относительной частоты X/n:
Мы пришли к очень важному, применительно к программированию, выводу.
Математическое ожидание относительной частоты случайного события есть вероятность этого события. Формула среднего квадратического отклонения показывает, что рассеяние относительной частоты уменьшается с увеличением числа повторений испытания.
Пример 3. Составить закон распределения случайной величины, выражающей число попаданий в мишень при четырех выстрелах, если вероятность попадания при каждом выстреле равна 0.3.
Вычислить ее математическое ожидание и дисперсию по формулам для характеристик случайной величины, распределенной по биномиальному закону.
{ Биномиальный закон распределения вероятностей }
Program Problem3;
uses WinCrt;
var
p, pp, mx, dx : real;
n, i : integer;
{-------------------------------------------------------------------------------------}
{ Процедура возведения в степень }
Procedure Extent(a : real; n : integer; var e : real);
var
i : integer;
begin
e := 1;
if
n = 0 then e := 1
else
for i := 1 to n do e := e*a
end;
{---------------------------------------------------------------------------------------}
{ Рекуррентная процедура вычисления биномиального закона }
{ распределения }
Procedure
Recurro_binomial(n, m : integer; p : real; var pp : real);
var
i : integer;
begin
Extent(1 - p, n, pp);
for i := 1 to m do pp := (pp*(n - i + 1)*p)/(i*(1 - p))
end;
{----------------------------------------------------------------------------------------}
{ Основная программа }
begin
write('Введите число выстрелов '); readln(n);
write('Введите вероятность попадания при каждом выстреле '); readln(p);
writeln('Биномиальный закон распределения вероятностей');
writeln;
for
i := 0 to n do write(i:6, ' '); writeln;
for
i := 0 to n do
begin
Recurro_binomial(n, i, p, pp);
write(pp:1:4, ' ')
end;
writeln;
mx := n*p;
dx := n*p*(1 - p);
writeln('Математическое ожидание, т.е. число попаданий ');
writeln('при четырех выстрелах ', mx:4:6);
writeln('Дисперсия равна ', dx:4:6);
writeln('Среднее квадратическое отклонение ', sqrt(dx):4:6)
end.
Пример 4.
Длительной проверкой установлено, что из каждых 10 приборов 8 - точных. Составить таблицу распределения числа точных приборов из взятых наудачу пяти приборов. Вычислить математическое ожидание и дисперсию.
{ Биномиальный закон распределения вероятностей }
Program Problem4;
uses WinCrt;
var
p, pp, mx, dx : real;
n, i : integer;
{----------------------------------------------------------------------------------------}
{ Процедура возведения в степень }
Procedure Extent(a : real; n : integer; var e : real);
var
i : integer;
begin
e := 1;
if
n = 0 then e := 1
else
for i := 1 to n do e := e*a
end;
{----------------------------------------------------------------------------------------}
{ Рекуррентная процедура вычисления биномиального закона }
{ распределения }
Procedure
Recurro_binomial(n, m : integer; p : real; var pp : real);
var
i : integer;
begin
Extent(1 - p, n, pp);
for i := 1 to m do pp := (pp*(n - i + 1)*p)/(i*(1 - p))
end;
{---------------------------------------------------------------------------------------}
{ Основная программа }
begin
write('Введите число взятых наудачу приборов '); readln(n);
p := 0.8;
writeln('Вероятность появления точного прибора ', p:1:6);
writeln('Биномиальный закон распределения вероятностей');
writeln;
for
i := 0 to n do write(i:6, ' '); writeln; writeln;
for
i := 0 to n do
begin
Recurro_binomial(n, i, p, pp);
write(pp:1:4, ' ')
end;
writeln; writeln;
mx := n*p; dx := n*p*(1 - p);
writeln('Математическое ожидание, т.е. число точных ');
writeln('приборов из взятых наудачу пяти ', mx:4:6);
writeln('Дисперсия равна ', dx:4:6);
writeln('Среднее квадратич. отклонение ', sqrt(dx):4:6)
end.
