Математическое ожидание и дисперсия непрерывной случайной величины

Определение. Математическим ожиданием M(X) непрерывной случайной величины X, плотностью вероятности которой является функция p(x), называется величина интеграла

                                            

                                        (4)

если он сходится абсолютно, а дисперсией называется величина интеграла

                                    

                                    (5)

если он сходится [где a = M(X)].

Легко заметить полную аналогию определений математического ожидания непрерывной и прерывной случайных величин. В формуле (5) суммирование заменено интегрированием (что вполне естественно для непрерывной случайной величины). Роль xi играет непрерывно изменяющаяся переменная x. Так как p(x)

с точностью до бесконечно малых высшего порядка по сравнению с дает вероятность того, что случайная величина примет какое-нибудь значение из интервала (x, x + ), то ясно также, что p(x)dx и pi  играют одинаковую роль. Так же устанавливается полная аналогия определений дисперсии непрерывной и прерывной случайных величин.

Пример 1. Минутная стрелка электрических часов передвигается скачками поминутно. Вы бросили взгляд на часы. Они показывают a минут. Тогда для Вас истинное время в данный момент будет случайная величина. Найти ее функцию распределения.

 

Решение

Функция распределения истинного времени равна 0 для всех x

 a и единице для x > a + 1. Время течет равномерно. Поэтому вероятность того, что истинное время меньше a + 0.5 мин, равна 0.5, так как одинаково вероятно, прошло ли после a менее или более полминуты. Вероятность того, что истинное время - меньше a+0.25 мин, равна 0.25 (вероятность этого времени втрое меньше вероятности того, что истинное время больше a + 0.25 мин, а сумма их равна единице, как сумма вероятностей противоположных событий). Аналогично рассуждая, найдем, что вероятность того, что истинное время меньше a + 0.6 мин, равна 0.6. В общем случае вероятность того, что истинное время меньше мин , равна  Следовательно, функция распределения истинного времени имеет такое выражение:

Она непрерывна всюду, а производная ее непрерывна во всех точках за исключением двух: x = a и x = a + 1.



Программа

Program

Function_Continuous1;

     uses WinCrt;

     var

        a         : integer;

        x, alfa : real;

  {---------------------------------------------------------------------------------------}

     Function Fx(a : integer; x, alfa : real) : real;

           begin

               if x < a

                 then Fx := 0

                 else if x = a + alfa

                          then Fx := alfa

                          else Fx := 1

           end;

  {---------------------------------------------------------------------------------------}

     begin

        write('Введите число минут, которое показывает минутная стрелка ');

        readln(a);

        write('Введите значение аргумента функции распределения '); readln(x);

        if (x - a < 1) and (x - a > 0) then alfa := x - a

                                                     else alfa := 0;

        write('Значение функции распределения равно ', Fx(a, x, alfa):4:6)

     end.

Пример 2. Случайная величина X равномерно распределена. Ее плотность вероятности p(x) = A, если a  x  b и p(x) = 0, если x < a и x > b. Определить коэффициент A.

 

Решение

По формуле (3')  получаем:  тогда  отсюда находим A:







Программа

Program Problem2;

     uses WinCrt;

     var

         AA, a, b : real;

     begin

         write('Введите левую границу интервала '); readln(a);

         write('Введите правую границу интервала '); readln(b);

         AA := 1/(b - a);

         writeln('Значение коэффициента A равно ', AA:6:6)

     end.

 


Содержание раздела

---

---