Второе определение непрерывной случайной величины

Величина X называется непрерывной случайной величиной, если вероятность попадания ее значения в любой интервал (x1, x2) может быть представлена в виде интеграла (2) от некоторой функции p(x) - плотности распределения вероятностей.

(2)

Плотность распределения вероятностей вполне определяет закон распределения непрерывной случайной величины X (или, как мы будем говорить, непрерывный закон распределения). При этом функция p(x) должна быть неотрицательной (что связано с не отрицательностью вероятностей) и должна быть нормирована условием

, (3)

отражающим достоверность события

Если все возможные значения случайной величины X сосредоточены в конечном интервале (a, b), то мы будем считать, что вне этого интервала плотность p(x) = 0 и, значит, условие (3) сводится к условию

(3')

Плотность вероятности p(x) случайной величины X и ее функция распределения F(x) взаимно определяют друг друга. Действительно, если известна функция распределения F(x) случайной величины X, то плотность вероятности ее найдется по равенству (1). Наоборот, пусть известна плотность вероятности p(x) случайной величины X. Функция распределения F(x) определяется равенством:

Но согласно формуле (3) вероятность того, что случайная величина X примет какое-нибудь значение от

до x, равна:

(4)

Из этих двух равенств получаем:

(5)

Таким образом, для полной характеристики случайной величины достаточно задать или функцию распределения, или плотность вероятности ее. Однако в большинстве случаев имеют дело с плотностью вероятности из-за удобств при теоретических исследованиях и из-за простых геометрических истолкований.

Содержание раздела